Somme trigonométrique

Énoncé

Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .  On pose \(R_n=\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(kx)\) . L'objectif de l'exercice est d'obtenir une expression explicite de \(R_n\) en fonction de \(x\) et \(n\) .

1. À l'aide de la formule du binôme de Newton, exprimer \((\text e^{ix}+1)^n\) comme une somme.

2. Justifier que \(R_n\) est la partie réelle du nombre complexe \((\text e^{ix}+1)^n\) .

3. Démontrer que \(\text e^{ix}+1=2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\text e^{i\frac{x}{2}}\) .

4. En déduire une expression de \((\text e^{ix}+1)^n\) en fonction de \(x\) et \(n\) .

5. Conclure.